QUESTIO 입시연구소
약술형 수리논술 격파 시리즈
2027학년도 대비 인문 A형
가천대학교 2022~2026 기출 모음
수학 해설집
수리논술 기출해설 (2022~2026)
강원호 소장 집필
2027학년도 대비 · questio.co.kr
수학Ⅰ
사인법칙, 코사인법칙
주어진 조건으로부터 \(\sin B = 2\sin A\). \(\overline{AB} = c, \overline{CA} = b\)라 하면 사인법칙에 의하여 \(\frac{4}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\) 이므로 대입하여 정리하면 \(b = 8\). 또한, \(\frac{4}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} = \frac{c}{\frac{3}{2}\sin A}\) 이므로 \(c = 6\). 코사인법칙에 의하여 \(b^2 = 64 = 36+16-2\times6\times4\times\cos B\)이므로 \(\cos B = -\frac{1}{4}\). 따라서 \(\sin B = \sqrt{1-\cos^2 B} = \frac{\sqrt{15}}{4}\).
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| \(\overline{CA} = 8\) |
3점 |
| \(\overline{AB} = 6\) |
3점 |
| \(\sin B = \frac{\sqrt{15}}{4}\) |
4점 |
수학 I
등차수열
\(x = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_{k-1}\)라 하고 \(y = a_{k+1} + \dots + a_m\)이라 하자. \(x+y = 84\)이고, \(y-x = 204\)이므로, \(y = 144\)이고, \(x = -60\)이다. \(x = -2k(k-1)\)이므로 \(k = 6\)이다. \(y = 2(m-k+1)(m-k) = 2(m-5)(m-6)\)이므로 \(m = 14\)이다. \(a_1 = -4(k-1) = -20\)이다.
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| \(a_1 = -20\) |
3점 |
| \(k = 6\) |
5점 |
| \(m = 14\) |
5점 |
수학Ⅰ, 수학Ⅱ
수열의 합, 부정적분, 접선의 방정식
\(f'(1) = 2 \times 1 + 3 \times 2 + 4 \times 3 + \dots + m \times (m-1)\) \(= (1+1) \times 1 + (1+2) \times 2 + (1+3) \times 3 + \dots + \{1+(m-1)\} \times (m-1)\) \(= (1+2+3+4+\dots+m-1) + \{1^2+2^2+3^2+4^2+\dots+(m-1)^2\}\) \(= \frac{(m-1)m}{2} + \frac{(m-1)m(2m-1)}{6} = \frac{(m-1)m(m+1)}{3}\) 이므로 조건 (나)로부터 \(m=9\)이다. 또한, 조건 (다)로부터 \(f(x) = 1+2x+3x^2+\dots+9x^8\) 따라서 \(f(-1) = 1-2+3-\dots+9 = 5\) \(f'(-1) = \sum_{k=2}^{9} (-1)^{k-2} k(k-1) = -40\) 이다. 따라서 접선의 방정식은 \(y = -40(x-(-1))+5 = -40x-35\)이고 접선의 \(y\)절편은 \(-35\)이다.
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| \(m=9\) |
3점 |
| \(f(-1)=5\) |
2점 |
| 접선의 기울기는 \(-40\) |
3점 |
| 접선의 \(y\)절편은 \(-35\) |
2점 |
수학Ⅱ
속도와 가속도, 속도와 거리
로그함수 \(f(x) = \frac{1}{3}\log_2(x-2)\)의 진수 조건 \(x-2 \gt 0\)에 의해 점근선은 \(x = 2\)이다. [ ① \(x=2\) ]
탄젠트함수 \(g(x) = \tan\left(\frac{\pi x}{a}\right)\)의 점근선은 \(\frac{\pi x}{a} = n\pi + \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{2n+1}{2}a\) (\(n\)은 정수)이다.
두 그래프가 만나지 않으려면 로그함수의 점근선 \(x=2\)가 탄젠트함수의 점근선과 일치해야 하므로,
\[\frac{2n-1}{2}a = 2 \implies a = \frac{4}{2n-1}\]
이다. \(a\)가 자연수이므로 홀수 \(2n-1\)은 \(4\)의 약수인 \(1\)이어야 한다. 따라서 \(n=1, a=4\)이다. [ ② \(a=4\) ]
정의역 \(\frac{17}{8} \le x \le 6\)에서 증가함수 \(f(x)\)의 범위는 \(f\left(\frac{17}{8}\right) = -1 \le f(x) \le f(6) = \frac{2}{3}\)이다.
합성함수 \((g \circ f)(x) = g(t)\) (단, \(t = f(x)\))에서 \(-1 \le t \le \frac{2}{3}\)이고, 증가함수 \(g(t) = \tan\left(\frac{\pi t}{4}\right)\)는 양 끝값에서 최댓값과 최솟값을 갖는다.
최솟값 \(m = g(-1) = \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1\)이다. [ ③ \(m=-1\) ]
최댓값 \(M = g\left(\frac{2}{3}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}\)이다. [ ④ \(M=\frac{\sqrt{3}}{3}\) ]
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| \(a = \frac{5}{3}\) |
3점 |
| \(b = \frac{11}{3}\) |
3점 |
| 시각 \(t=a\)에서 점 P의 가속도는 14 |
2점 |
| 시각 \(t=b\)에서 점 P의 가속도는 26 |
2점 |
수학Ⅱ
함수의 극한과 연속
\(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2+2x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} \times \frac{1}{x+2} = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 1\) 이므로 \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 2\) 이다.\(\lim_{x \to 0} \left\{ \frac{g(x)+x}{g(x)-x} - 1 \right\} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{g(x)-x} = 1\) 이므로 \(\lim_{x \to 0} \frac{x}{g(x)-x} = \frac{1}{2}\) 이다.이때 \(\lim_{x \to 0} \frac{x}{g(x)-x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{g(x)}{x}-1} = \frac{1}{2}\) 에서 \(\lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x} - 1 = 2\) 이므로 \(\lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x} = 3\) 이다.따라서 구하고자 하는 극한값은 다음과 같다.\(\lim_{x \to 0} \frac{4f(x)g(x)}{2\{f(x)\}^2+3f(x)g(x)-2\{g(x)\}^2} = \lim_{x \to 0} \frac{4f(x)g(x)}{\left\{2f(x)-g(x)\right\}\left\{f(x)+2g(x)\right\}} = \lim_{x \to 0} \frac{4\frac{f(x)}{x}\frac{g(x)}{x}}{\left(2\frac{f(x)}{x}-\frac{g(x)}{x}\right)\left(\frac{f(x)}{x}+2\frac{g(x)}{x}\right)} = \frac{4 \times 2 \times 3}{(2 \times 2 - 3)(2+2 \times 3)} = \frac{24}{1 \times 8} = 3\)
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}=2\) (또는 \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{2}{3}\) 또는 \(\lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{f(x)}=\frac{3}{2}\)) |
5점 |
| \(\lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x}=3\) (또는 \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{2}{3}\) 또는 \(\lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{f(x)}=\frac{3}{2}\)) |
5점 |
| \(\lim_{x \to 0} \frac{4f(x)g(x)}{2\{f(x)\}^2+3f(x)g(x)-2\{g(x)\}^2}=3\) |
5점 |
수학 I
지수함수의 그래프
\(a \times 3^{5-3} + 2a = 11a = 22\)이므로 \(a=2\) \(y=2 \times 3^{x-3} + 4\)의 점근선의 방정식 \(y=4\)가 \(y\)축과 만나는 점 A의 좌표는 \((0, 4)\)이고, 곡선 \(y=\left(\frac{1}{2}\right)^x-1\)과 만나는 점 B의 좌표는 \((-\log_2 5, 4)\)이다. 따라서, 삼각형 AOB의 넓이는 \(\frac{1}{2} \times \overline{AB} \times \overline{AO} = \frac{1}{2} \times \log_2 5 \times 4 = 2\log_2 5\)
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| \(a=2\) |
2점 |
| 점 A의 좌표는 \((0, 4)\) (또는 \(\overline{AO} = 4\)) |
2점 |
| 점 B의 좌표는 \((-\log_2 5, 4)\) (또는 \(\overline{AB} = \log_2 5\)) |
3점 |
| 삼각형 AOB의 넓이는 \(2\log_2 5\) (또는 \(\log_2 25\) 등 값까지 같은 표현 가능) |
3점 |
수학 I
지수와 로그
\[\log_a b - \log_b a = \frac{\log b}{\log a} - \frac{\log a}{\log b} = 0\]
\[\frac{(\log b)^2 - (\log a)^2}{\log a \log b} = \frac{(\log b + \log a)(\log b - \log a)}{\log a \log b} = 0\]
\(a \ne b\)이므로 \(\log b - \log a \ne 0\)이다. 따라서
\[\log b + \log a = \log ab = 0 \implies ab = 1\]
\(a, b\)가 \(1\)이 아닌 양수이므로 산술-기하 평균의 관계에 의하여
\[9a + 25b \ge 2\sqrt{9a \times 25b} = 2\sqrt{225 ab} = 2 \times 15 = 30\]
따라서 최솟값 \(m = 30\)이고, 등호는 \(9a = 25b\)일 때 성립한다.
\[ab = 1 \implies 9a = \frac{25}{a} \implies 9a^2 = 25 \implies a = \frac{5}{3}\]
따라서 이때의 \(a = \alpha = \frac{5}{3}\)이다.
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| 산술-기하 평균의 관계를 이용하여 최솟값 \(m = 30\)을 구함 |
4점 |
| 등호 성립 조건을 이용하여 \(\alpha = \frac{5}{3}\)를 정확히 구함 |
3점 |
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수학 I
수열
첫째항이 \(2\)이고 공차가 \(3\)인 등차수열 \(\{a_n\}\)의 일반항은 \(a_n = 2 + (n-1)\times 3 = 3n - 1\)이다.
\[\sum_{k=1}^{6} (a_k)^3 = \sum_{k=1}^{6} (3k-1)^3 = \sum_{k=1}^{6} (27k^3 - 27k^2 + 9k - 1)\]
\[= 27 \times \left(\frac{6 \times 7}{2}\right)^2 - 27 \times \frac{6 \times 7 \times 13}{6} + 9 \times \frac{6 \times 7}{2} - 6 = 9633\]
\(13 S_n \gt 9633\)에서 \(S_n \gt 741\)이다. 등차수열의 합 공식에 의해
\[S_n = \frac{n\{4 + 3(n-1)\}}{2} = \frac{n(3n+1)}{2} \gt 741\]
\[S_{22} = \frac{22 \times 67}{2} = 737, \quad S_{23} = \frac{23 \times 70}{2} = 805\]
이므로 부등식을 만족하는 자연수 \(n\)의 최솟값은 \(23\)이다.
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| 부등식 \(S_n = \frac{n(3n+1)}{2} \gt 741\)을 구함 |
4점 |
| \(S_{22} = 737\), \(S_{23} = 805\)임을 계산하여 \(n\)의 최솟값 \(23\)을 구함 |
3점 |
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수학 II
정적분
제1사분면에서 두 곡선 \(|2x| + y = t \implies y = t - 2x\)와 \(y = x^2\)의 교점의 \(x\)좌표는 \(x^2 + 2x - t = 0\)에서 \(x = -1 + \sqrt{1+t}\)이다.
두 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이 \(S(t)\)는
\[S(t) = 2 \int_{0}^{-1+\sqrt{1+t}} (t - 2x - x^2) dx = 2 \left[ tx - x^2 - \frac{1}{3}x^3 \right]_0^{-1+\sqrt{1+t}}\]
\[= 2t(\sqrt{1+t}-1) - 2(\sqrt{1+t}-1)^2 - \frac{2}{3}(\sqrt{1+t}-1)^3\]
\[\lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{t}S(t)}{t^3} = \lim_{t \to \infty} \frac{S(t)}{t^{\frac{5}{2}}}\]
\[= \lim_{t \to \infty} \frac{2t^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}} + \cdots}{t^{\frac{5}{2}} \times t^{-1}} = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}\]
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| 정적분으로 \(S(t)\) 식을 작성함 |
4점 |
| \(t \to \infty\)일 때의 극한값 \(\frac{4}{3}\)를 구함 |
3점 |
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수학 II
함수의 연속
\[|x^2 - 2x| + x = \begin{cases} x^2 - x & (x \le 0) \\ -x^2 + 3x & (0 \lt x \le 2) \\ x^2 - x & (x \gt 2) \end{cases}\]
이고 \(y = -x^2 + 3x = -\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{9}{4}\)이므로 함수 \(y = |x^2 - 2x| + x\)의 \(x = \frac{3}{2}\)에서의 극댓값(최댓값)은 \(\frac{9}{4}\)이다.
따라서 교점의 개수 함수 \(f(t)\)는
\[f(t) = \begin{cases} 0 & (t \lt 0) \\ 1 & (t = 0) \\ 2 & (0 \lt t \lt 2) \\ 3 & (t = 2) \\ 4 & \left(2 \lt t \lt \frac{9}{4}\right) \\ 3 & \left(t = \frac{9}{4}\right) \\ 2 & \left(t \gt \frac{9}{4}\right) \end{cases}\]
함수 \(f(t)\)는 \(t = 0, t = 2, t = \frac{9}{4}\)에서 불연속이다. \(g(t)\)는 실수 전체에서 연속인 최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수이므로 \(f(t)g(t)\)가 연속이려면
\[g(0) = 0, \quad g(2) = 0, \quad g\left(\frac{9}{4}\right) = 0\]
\[g(t) = t(t-2)\left(t - \frac{9}{4}\right)\]
\(f(1) = 2\), \(g(1) = 1(1-2)\left(1 - \frac{9}{4}\right) = \frac{5}{4}\)이므로
\[f(1) + g(1) = 2 + \frac{5}{4} = \frac{13}{4}\]
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| 연속성 조건으로부터 \(g(t) = t(t-2)\left(t - \frac{9}{4}\right)\)를 구함 |
3점 |
| \(f(1) + g(1) = \frac{13}{4}\)를 정확히 구함 |
3점 |
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수학 II
다항함수의 미분
이차함수 \(f(x)\)의 최고차항의 계수가 \(-\frac{1}{2}\)이고 \(x=8\)에서 최댓값을 가지므로
\[f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 8x + c \quad (c\text{는 상수})\]
라 둘 수 있다. \(f(x+1) - f(x) = -x + \frac{15}{2}\)이므로
\[\left|f(x+1) - f(x) - \frac{7}{2}\right| = \left|-x + \frac{15}{2} - \frac{7}{2}\right| = |-x + 4|\]
\[g(x) = \begin{cases} -\frac{1}{2}x^2 + 8x + c & (x \le a) \\ |x-4| & (x \gt a) \end{cases}\]
만일 \(a \lt 4\)이면 \(\lim_{x \to 4-} \frac{g(x)-g(4)}{x-4} = -1\), \(\lim_{x \to 4+} \frac{g(x)-g(4)}{x-4} = 1\)이므로 \(g(x)\)는 \(x=4\)에서 미분 불가능하고, 이는 가정에 모순이다.
\(a \ge 4\)일 때, \(g(x)\)가 \(x=a\)에서 연속이고 미분가능하려면
좌미분계수 \(-a + 8\), 우미분계수 \(1\)에서 \(-a + 8 = 1 \implies a = 7\)
따라서 \(f(a) = f(7) = g(7) = 7 - 4 = 3\)이다.
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| \(x=a\)에서 미분가능 조건으로부터 \(a = 7\)을 구함 |
4점 |
| \(f(a) = 3\)을 정확히 구함 |
3점 |
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수학 I
삼각함수
\[f(x) = 2(-\cos x)^2 - 2\sin x + 5 = 2(1 - \sin^2 x) - 2\sin x + 5\]
\[= -2\sin^2 x - 2\sin x + 7 = -2\left(\sin x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{15}{2}\]
\(\sin x = t\)라 놓으면 \(-1 \le t \le 1\)이다.
\[f(t) = -2\left(t + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{15}{2}\]
\(t = -\frac{1}{2}\)일 때, 최댓값 \(\alpha = \frac{15}{2}\)이고,
\(t = 1\)일 때, 최솟값 \(\beta = -2\left(\frac{3}{2}\right)^2 + \frac{15}{2} = 3\)이다.
따라서 \(\alpha \beta = \frac{15}{2} \times 3 = \frac{45}{2}\)이다.
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| \(-1 \le t \le 1\)에서 최댓값 \(\alpha = \frac{15}{2}\), 최솟값 \(\beta = 3\)을 구함 |
3점 |
| \(\alpha \beta = \frac{45}{2}\)를 정확히 계산함 |
3점 |
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수학Ⅰ
지수함수와 로그함수
부등식의 로그 항을 정리하면 다음과 같습니다.
\[\log_3 \left( \sqrt[3]{9}n \right) = \log_3 \left( 3^{\frac{2}{3}}n \right) = \frac{2}{3} + \log_3 n, \quad \log_3 \sqrt[3]{n^2} = \frac{2}{3}\log_3 n\]
이를 원래 부등식에 대입하여 인수분해하면,
\[\left(x - \frac{2}{3}\right)(x - \log_3 n) \lt 0 \implies \frac{2}{3} \lt x \lt \log_3 n\]
이 구간을 만족시키는 정수 \(x\)가 오직 \(1\)개(\(x = 1\))만 존재해야 하므로,
\[1 \lt \log_3 n \le 2 \implies 3 \lt n \le 9\]
따라서 만족시키는 자연수 \(n\)은 \(4, 5, 6, 7, 8, 9\)로 총 \(6\)개이다.
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| 부등식을 정리하여 인수분해 식 \(\left(x - \frac{2}{3}\right)\left(x - \log_3 n\right) \lt 0\) 또는 해의 범위 수립 |
5점 |
| 정수 \(x=1\)이 되기 위한 로그 범위 \(1 \lt \log_3 n \le 2\) 및 자연수 범위 \(3 \lt n \le 9\) 도출 |
4점 |
| 자연수 \(n\)의 개수 \(6\)개 최종 도출 |
1점 |
수학Ⅰ
수열
첫째항이 \(a_1\)이고 공차가 \(d\)인 등차수열에 대하여, \(a_2 = a_1 + d\), \(a_4 = a_1 + 3d\), \(a_6 = a_1 + 5d\) 입니다. 조건 \(a_2 - 1 = 1 - a_4\) 에서, \(a_2 + a_4 = 2 \Rightarrow (a_1 + d) + (a_1 + 3d) = 2a_1 + 4d = 2 \Rightarrow a_1 + 2d = 1 \quad \cdots\) (①) (즉, 등차중항 성질에 의해 \(2a_3 = 2 \Rightarrow a_3 = 1\) 입니다.) 조건 \(|a_4 + 5| = |-5 - a_6|\) 에서, \(|-5 - a_6| = |-(5 + a_6)| = |a_6 + 5|\) 이므로, \(|a_4 + 5| = |a_6 + 5|\) 입니다. 이때 두 식의 부호가 같은 경우와 다른 경우로 나눕니다. i) 부호가 같은 경우 (\(a_4 + 5 = a_6 + 5\)) \(a_4 = a_6\) 이 되어 공차 \(d = 0\) 이 됩니다. 이는 공차가 \(0\)이 아니라는 조건에 모순이므로 성립하지 않습니다. ii) 부호가 다른 경우 (\(a_4 + 5 = -(a_6 + 5)\)) \(a_4 + a_6 + 10 = 0\) 이므로, \((a_1 + 3d) + (a_1 + 5d) + 10 = 0 \Rightarrow 2a_1 + 8d = -10 \Rightarrow a_1 + 4d = -5 \quad \cdots\) (②) ①번 식과 ②번 식을 연립하여 풀어줍니다. ② - ①: \(2d = -6 \Rightarrow d = -3\) 이를 ①에 대입하면, \(a_1 + 2(-3) = 1 \Rightarrow a_1 = 7\) 따라서 구하고자 하는 \(a_7\)의 값은 다음과 같습니다. \(a_7 = a_1 + 6d = 7 + 6(-3) = -11\)
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| 첫째항 \(a_1 = 7\) (또는 \(a_3 = 1\)) 도출 |
4점 |
| 공차 \(d = -3\) 도출 |
4점 |
| 최종 값 \(a_7 = -11\) 구하기 |
2점 |
수학Ⅱ
다항함수의 미분법
다항함수 \(f(x)\)는 실수 전체에서 연속이므로 \(f(\frac{1}{2}) = \lim_{x \to \frac{1}{2}} f(x) = a\) (\(a\)는 정수)라 하자.조건 (나)에서 \(\lim_{x \to \infty} \frac{f(x) - 2x^3}{x^2} = a\) 이므로 \(f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + c\) 이다. 조건 (가)에서 \(f(0)=0 \implies c=0\) 이고, 모든 계수가 정수이므로 \(a, b\)는 정수이다.\(f(\frac{1}{2}) = a\) 에서 \(a = 2(\frac{1}{2})^3 + a(\frac{1}{2})^2 + b(\frac{1}{2}) \implies 3a = 2b + 1 \quad \cdots \text{(①)}\) 이 성립한다.조건 (다)에서 \(f(x)\)가 실수 전체에서 증가하므로 모든 실수 \(x\)에 대해 \(f'(x) = 6x^2 + 2ax + b \ge 0\) 이다. 판별식 \(D/4 = a^2 - 6b \le 0 \quad \cdots \text{(②)}\) 이어야 한다.①에서 \(6b = 9a - 3\) 이므로 ②에 대입하면 \(a^2 - 9a + 3 \le 0\) 이다.이차방정식 \(a^2-9a+3=0\)의 해는 \(a = \frac{9 \pm \sqrt{69}}{2}\) 이므로 \(\frac{9-\sqrt{69}}{2} \le a \le \frac{9+\sqrt{69}}{2}\) 이다.\(\sqrt{69} \approx 8.3\) 이므로 \(0.35 \le a \le 8.65\) 이며, 정수 \(a\)의 최댓값은 \(8\)이다. 따라서 \(f\left(\frac{1}{2}\right)\)의 최댓값은 \(8\)이다.
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| \(f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx\) 형태 식 수립 |
2점 |
| \(3a = 2b + 1\) (또는 \(2b = 3a - 1\)) 관계식 유도 |
3점 |
| 도함수가 항상 \(0\) 이상일 판별식 범위 \(a^2 - 9a + 3 \le 0\) 도출 |
3점 |
| \(a\)가 정수임을 활용하여 최댓값 \(8\) 최종 도출 |
2점 |
수학Ⅰ
삼각함수
로그함수 \(f(x) = \frac{1}{3}\log_2(x-2)\)의 진수 조건 \(x-2 \gt 0\)에 의해 점근선은 \(x = 2\)이다. [ ① \(x=2\) ]
탄젠트함수 \(g(x) = \tan\left(\frac{\pi x}{a}\right)\)의 점근선은 \(\frac{\pi x}{a} = n\pi + \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{2n+1}{2}a\) (\(n\)은 정수)이다.
두 그래프가 만나지 않으려면 로그함수의 점근선 \(x=2\)가 탄젠트함수의 점근선과 일치해야 하므로,
\[\frac{2n-1}{2}a = 2 \implies a = \frac{4}{2n-1}\]
이다. \(a\)가 자연수이므로 홀수 \(2n-1\)은 \(4\)의 약수인 \(1\)이어야 한다. 따라서 \(n=1, a=4\)이다. [ ② \(a=4\) ]
정의역 \(\frac{17}{8} \le x \le 6\)에서 증가함수 \(f(x)\)의 범위는 \(f\left(\frac{17}{8}\right) = -1 \le f(x) \le f(6) = \frac{2}{3}\)이다.
합성함수 \((g \circ f)(x) = g(t)\) (단, \(t = f(x)\))에서 \(-1 \le t \le \frac{2}{3}\)이고, 증가함수 \(g(t) = \tan\left(\frac{\pi t}{4}\right)\)는 양 끝값에서 최댓값과 최솟값을 갖는다.
최솟값 \(m = g(-1) = \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1\)이다. [ ③ \(m=-1\) ]
최댓값 \(M = g\left(\frac{2}{3}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}\)이다. [ ④ \(M=\frac{\sqrt{3}}{3}\) ]
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| [①] \(x=2\) 알맞은 식 채우기 |
2점 |
| [②] \(4\) 자연수 값 구하기 |
2점 |
| [③] 최솟값 \(-1\) 구하기 |
3점 |
| [④] 최댓값 \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) (또는 \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)) 구하기 |
3점 |
수학Ⅱ
다항함수의 적분법
조건 (가)에서 \(|f(1)| \ge 0\), \(|f(-1)| \ge 0\)이므로 두 값의 합이 \(0\)이 되려면 \(f(1) = 0\)이고 \(f(-1) = 0\)이어야 한다. 최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)는 인수로 \((x-1)\)과 \((x+1)\)을 가진다. 따라서 \(f(x) = (x-a)(x-1)(x+1) = (x-a)(x^2-1) = x^3 - ax^2 - x + a\) (단, \(a\)는 상수)로 수립할 수 있다.
조건 (나)에 대입하여 식을 정리하면 다음과 같다.
\[\int_{0}^{1} f(x)dx = \int_{0}^{1} (x^3 - ax^2 - x + a)dx\]
\[= \left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{a}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + ax \right]_0^1 = \frac{2}{3}a - \frac{1}{4}\]
조건 (나)가 \(-1 \le \int_{0}^{1} f(x)dx \le 1\)이므로, \(-1 \le \frac{2}{3}a - \frac{1}{4} \le 1 \implies -\frac{9}{8} \le a \le \frac{15}{8} \quad \cdots \text{(①)}\)이다.
이제 구하고자 하는 정적분 값을 \(a\)의 식으로 표현하면 다음과 같다.
\[\int_{-1}^{3} f(x)dx = \int_{-1}^{3} (x^3 - ax^2 - x + a)dx\]
\[= \left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{a}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + ax \right]_{-1}^3 = 16 - \frac{16}{3}a\]
①번 범위에 따라 \(16 - \frac{16}{3}a\)의 범위를 구하면,
\(a = -\frac{9}{8}\)일 때 최댓값 \(M = 16 - \frac{16}{3}\left(-\frac{9}{8}\right) = 16 + 6 = 22\)이고,
\(a = \frac{15}{8}\)일 때 최솟값 \(m = 16 - \frac{16}{3}\left(\frac{15}{8}\right) = 16 - 10 = 6\)이다.
따라서 최댓값과 최솟값의 합은 \(M + m = 22 + 6 = 28\)이다.
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| \(f(x) = (x-a)(x^2-1)\) 인수정리 식 세우기 및 정적분 조건 적용 |
3점 |
| 조건 (나)를 활용하여 미지수 범위 \(-\frac{9}{8} \le a \le \frac{15}{8}\) 유도 |
3점 |
| 정적분 결과 \(16 - \frac{16}{3}a\) 도출 및 최댓값·최솟값의 합 \(28\) 산출 |
4점 |
수학Ⅱ
다항함수의 미분법
곡선 위의 점 \((t, t^3-3t^2-9t+2)\)에서의 접선의 방정식은 \(y - (t^3-3t^2-9t+2) = (3t^2-6t-9)(x-t)\) 이다.이 접선이 외부의 점 \((-2, a)\)를 지나므로 대입하여 정리하면 \(a = -2t^3 - 3t^2 + 12t + 20\) 이다.이 방정식이 서로 다른 세 실근을 가져야 하므로, \(g(t) = 2t^3 + 3t^2 - 12t - 20\) 이라 할 때 \(g(t) = -a\) 가 서로 다른 세 실근을 가져야 한다.\(g'(t) = 6t^2 + 6t - 12 = 6(t+2)(t-1) = 0 \implies t = -2\) 또는 \(t = 1\) 이다.극댓값 \(g(-2) = 0\), 극솟값 \(g(1) = -27\) 이므로, 서로 다른 세 실근을 가질 조건은 \(\text{극솟값} \lt -a \lt \text{극댓값} \implies -27 \lt -a \lt 0\) 이다.양변에 \(-1\)을 곱하면 \(0 \lt a \lt 27\) 이므로 만족하는 정수 \(a\)의 개수는 \(1, 2, \dots, 26\)으로 총 \(26\)개이다.
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| 접선의 방정식 \(y - (t^3 - 3t^2 - 9t + 2) = (3t^2 - 6t - 9)(x-t)\) 수립 |
3점 |
| 점 \((-2, a)\) 대입하여 \(2t^3 + 3t^2 - 12t - 20 + a = 0\) 수립 |
2점 |
| 극대·극소 조사를 통해 실근 3개일 조건 \(0 \lt a \lt 27\) 도출 |
4점 |
| 정수 \(a\)의 개수 \(26\)개 최종 도출 |
1점 |
수학Ⅰ
수열
첫째항이 \(a\)이고 공비가 \(r\)인 등비수열 \(\{a_n\}\)의 제 \(n\)항까지의 합 \(S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1}\) 이므로, \(\frac{S_6}{S_3} = \frac{\frac{a(r^6-1)}{r-1}}{\frac{a(r^3-1)}{r-1}} = r^3 + 1 = \frac{18}{6} = 3\) 에서 \(r^3 = 2\) 이다. 이때 \(S_3 = \frac{a(r^3-1)}{r-1} = 6\) 이다. \(S_{15}\)의 값을 구하면, \(S_{15} = \frac{a(r^{15}-1)}{r-1} = \frac{a(r^3-1)}{r-1} \cdot \frac{(r^3)^5-1}{r^3-1} = S_3 \cdot \frac{2^5-1}{2-1} = 6 \cdot 31 = 186\) 이다. 따라서, 구하고자 하는 식에 대입하면, \(\log_2 \left( 1 + \frac{S_{15}}{6} \right) = \log_2 \left( 1 + \frac{186}{6} \right) = \log_2 (1 + 31) = \log_2 32 = 5\) 이다.
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| 수열의 일반항 식 세우기 및 초기 조건 도출 |
3점 |
| 수열의 합 또는 점화식의 규칙성 추론 |
3점 |
| 최종 항 또는 합의 값 도출 |
4점 |
수학Ⅰ
지수함수와 로그함수
주어진 식에서 \(\log_3(ab) = \log_3 a + \log_3 b = 6\) 이고, \(\log_3 a = 4\log_b 3 = \frac{4}{\log_3 b}\) 이므로 \(\log_3 a \cdot \log_3 b = 4\) 이다. 구하고자 하는 값 \(\log_a b + \log_b a\)는 밑의 변환 공식에 의해 다음과 같이 나타낼 수 있다. \(\log_a b + \log_b a = \frac{\log_3 b}{\log_3 a} + \frac{\log_3 a}{\log_3 b} = \frac{(\log_3 a)^2 + (\log_3 b)^2}{\log_3 a \cdot \log_3 b}\) 곱셈 공식의 변형에 의해 분자를 계산하면, \((\log_3 a)^2 + (\log_3 b)^2 = (\log_3 a + \log_3 b)^2 - 2\log_3 a \cdot \log_3 b = 6^2 - 2 \times 4 = 36 - 8 = 28\) 이다. 따라서, 구하는 값은 \(\frac{28}{4} = 7\) 이다.
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| 지수/로그의 밑 조건 및 방정식/부등식 조건 분석 |
3점 |
| 밑 변환 및 로그 성질을 이용한 식 전개 |
3점 |
| 연립 방정식 해 구하기 및 최종 결론 |
4점 |
수학Ⅱ
다항함수의 미분법
\(f(x) = x^2 - 4x + 4\)에서 \(f'(x) = 2x - 4\)이다. 점 \((a, f(a))\)에서의 접선의 방정식은 다음과 같다. \(y - (a^2 - 4a + 4) = (2a - 4)(x - a) \implies y = (2a - 4)x - a^2 + 4\) 이 접선이 \(x\)축과 만나는 점 \(P\)의 \(x\)좌표는 \(y=0\)을 대입하면, \((2a-4)x = a^2-4 \implies x = \frac{a+2}{2}\) 이므로 \(P\left(\frac{a+2}{2}, 0\right)\) 이다. \(y\)축과 만나는 점 \(Q\)의 좌표는 \(x=0\)을 대입하면 \(Q(0, -a^2+4)\) 이다. \(0 \lt a \lt 2\)이므로 \(\frac{a+2}{2} \gt 0\) 이고 \(-a^2+4 \gt 0\) 이다. 따라서 삼각형 \(OPQ\)의 넓이를 \(S(a)\)라 하면, \(S(a) = \frac{1}{2} \times \frac{a+2}{2} \times (4-a^2) = -\frac{1}{4}(a^3 + 2a^2 - 4a - 8)\) 이다. 미분하면 \(S'(a) = -\frac{1}{4}(3a^2 + 4a - 4) = -\frac{1}{4}(3a-2)(a+2)\) 이다. \(0 \lt a \lt 2\)이므로 \(S'(a) = 0\)이 되는 \(a\)의 value는 \(a = \frac{2}{3}\) 뿐이다. 증감표를 통해 극대이자 최대임을 확인할 수 있으므로, 넓이가 최대가 될 때의 \(a\)의 값은 \(a = \frac{2}{3}\) 이다.
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| 함수 미분하기 및 도함수 조건 설정 |
3점 |
| 접선의 방정식 또는 극값 조건을 만족하는 미지수 계산 |
3점 |
| 최종 함숫값 및 기하학적 넓이 계산 |
4점 |
수학Ⅰ
삼각함수
로그함수 \(f(x) = \frac{1}{3}\log_2(x-2)\)의 진수 조건 \(x-2 \gt 0\)에 의해 점근선은 \(x = 2\)이다. [ ① \(x=2\) ]
탄젠트함수 \(g(x) = \tan\left(\frac{\pi x}{a}\right)\)의 점근선은 \(\frac{\pi x}{a} = n\pi + \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{2n+1}{2}a\) (\(n\)은 정수)이다.
두 그래프가 만나지 않으려면 로그함수의 점근선 \(x=2\)가 탄젠트함수의 점근선과 일치해야 하므로,
\[\frac{2n-1}{2}a = 2 \implies a = \frac{4}{2n-1}\]
이다. \(a\)가 자연수이므로 홀수 \(2n-1\)은 \(4\)의 약수인 \(1\)이어야 한다. 따라서 \(n=1, a=4\)이다. [ ② \(a=4\) ]
정의역 \(\frac{17}{8} \le x \le 6\)에서 증가함수 \(f(x)\)의 범위는 \(f\left(\frac{17}{8}\right) = -1 \le f(x) \le f(6) = \frac{2}{3}\)이다.
합성함수 \((g \circ f)(x) = g(t)\) (단, \(t = f(x)\))에서 \(-1 \le t \le \frac{2}{3}\)이고, 증가함수 \(g(t) = \tan\left(\frac{\pi t}{4}\right)\)는 양 끝값에서 최댓값과 최솟값을 갖는다.
최솟값 \(m = g(-1) = \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1\)이다. [ ③ \(m=-1\) ]
최댓값 \(M = g\left(\frac{2}{3}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}\)이다. [ ④ \(M=\frac{\sqrt{3}}{3}\) ]
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| 삼각함수의 성질 및 항등식 적용하기 |
3점 |
| 삼각방정식 풀이 및 미지수 조건 분석 |
3점 |
| 최종 각도 또는 삼각비의 값 도출 |
4점 |
수학Ⅱ
함수의 극한과 연속
극값의 존재 조건에 따라 분모가 \(0\)으로 갈 때 분자도 \(0\)으로 가야 하므로, \(\lim_{x \to -1} \frac{f(x)}{(x+1)g(x)}\)가 존재하려면 \(f(-1) = 0\) 이어야 한다. 따라서 최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)는 \((x+1)\)을 인수로 가지므로 \(f(x) = (x+1)(x^2+ax+b)\)로 놓을 수 있다. 이때 평행이동한 함수 \(g(x) = f(x-5) = (x-4)((x-5)^2+a(x-5)+b)\) 이다. 또한, \(\lim_{x \to 4} \frac{f(x)}{(x+1)g(x)} = k\) 가 존재하므로 \(x \to 4\)일 때 분모 \(g(x)\)가 \((x-4)\)를 인수로 가져서 \(0\)으로 가기 때문에, 분자 \(f(x)\)도 \((x-4)\)를 인수로 가져야 한다. 따라서 \(f(x) = (x+1)(x-4)(x+d)\)로 설정할 수 있다. 그러면 \(g(x) = f(x-5) = (x-4)(x-9)(x-5+d)\) 이다. 첫 번째 극한 식에 대입하면, \(\lim_{x \to -1} \frac{(x+1)(x-4)(x+d)}{(x+1)(x-4)(x-9)(x-5+d)} = \lim_{x \to -1} \frac{x+d}{(x-9)(x-5+d)} = \frac{-1+d}{-10(-6+d)} = -\frac{1}{5}\) 이다. 이를 정리하면 \(\frac{d-1}{10(d-6)} = \frac{1}{5} \implies d - 1 = 2d - 12 \implies d = 11\) 이 된다. 따라서 \(f(x) = (x+1)(x-4)(x+11)\) 이고, \(g(x) = (x-4)(x-9)(x+6)\) 이다. 상수 \(k\)의 값을 계산하면, \(k = \lim_{x \to 4} \frac{(x+1)(x-4)(x+11)}{(x+1)(x-4)(x-9)(x+6)} = \lim_{x \to 4} \frac{x+11}{(x-9)(x+6)} = \frac{15}{-5 \times 10} = -\frac{3}{10}\) 이다.
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| 제시문의 조건에 맞는 식 세우기 및 상황 분석 |
3점 |
| 조건을 만족하는 미지수 구하기 및 유도 과정 |
3점 |
| 정답 계산 및 최종 답안 서술 |
4점 |
수학Ⅱ
다항함수의 적분법
곡선 \(y = -x^2+6x-9 = -(x-3)^2\) 위의 점 \((a, f(a))\) \((0 \lt a \lt 3)\)에서의 접선의 방정식은 \(f'(x) = -2x+6\)이므로 \(y = -2(a-3)(x-a) - (a-3)^2\)이다. 따라서 접선의 \(x\)절편은 \(\frac{a+3}{2}\)이고 \(y\)절편은 \(a^2 - 9\)이므로 접선과 \(x\)축, \(y\)축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이는 \(\frac{1}{2} \times \left(\frac{a+3}{2}\right) \times (9-a^2)\)이다. 따라서 \(y = f(x)\)의 그래프와 접선 및 \(x\)축 또는 \(y\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이는 \(S = -\int_0^3 f(x)dx - \text{(삼각형의 넓이)}\)로 계산할 수 있다.
\[S = -\int_0^3 (-x^2+6x-9) dx - \frac{(a+3)(9-a^2)}{4}\]
\[= \left[ \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 9x \right]_0^3 - \frac{(a+3)(9-a^2)}{4} = \frac{1}{4}a^3 + \frac{3}{4}a^2 - \frac{9}{4}a + \frac{9}{4}\]
따라서 넓이 \(S\)의 \((0 \lt a \lt 3)\)에서의 최솟값을 구하기 위해 미분하면,
\[S' = \frac{3}{4}a^2 + \frac{3}{2}a - \frac{9}{4} = \frac{3}{4}(a-1)(a+3)\]
이므로, \(a=1\)에서 극소이자 최솟값 \(S=1\)을 가진다.
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| 피적분함수 설정 및 정적분 식 세우기 |
3점 |
| 치환/부분적분 또는 기본 정적분 계산 과정 |
3점 |
| 최종 넓이 또는 적분값 도출 |
4점 |
수학Ⅱ
적분
두 곡선 \(y=f(x)\), \(y=g(x)\)는 역함수 관계이므로 직선 \(y=x\)에 대하여 대칭이다. 따라서 두 곡선의 교점은 \(f(x) = x\)인 방정식 \(ax^2 = x\)의 해와 같으므로, \(x \ge 0\) 범위에서 교점의 \(x\)좌표는 \(x=0\)과 \(x = \frac{1}{a}\) 이다. ([①]) 두 곡선으로 둘러싸인 넓이 \(S\)는 \(y=x\)와의 대칭성에 의해 다음의 정적분으로 나타낼 수 있다. \(S = 2 \int_{0}^{\frac{1}{a}} (x - ax^2) \, dx\) ([②]) 정적분을 실제로 계산하면 다음과 같다. \(S = 2 \left[ \frac{1}{2}x^2 - \frac{a}{3}x^3 \right]_{0}^{\frac{1}{a}} = 2 \left( \frac{1}{2a^2} - \frac{1}{3a^2} \right) = 2 \left( \frac{1}{6a^2} \right) = \frac{1}{3a^2}\) ([③]) 넓이 \(S = \frac{3}{4}\) 이므로, \(\frac{1}{3a^2} = \frac{3}{4} \implies a^2 = \frac{4}{9} \implies a = \frac{2}{3}\) (\(0 \lt a \lt 1\)) 이다. ([④])
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| 조건 해석 및 수식 초기화 |
2점 |
| 피적분함수 설정 및 정적분 식 세우기 |
4점 |
| 치환/부분적분 또는 기본 정적분 계산 과정 |
2점 |
| 최종 넓이 또는 적분값 도출 |
2점 |
수학Ⅱ
지수 로그
\(A \subset B\) 이므로 \(3\log_2 a - 2\log_2 b = 1\) 이다. 이를 정리하면 \(\log_2 \frac{a^3}{b^2} = 1 \implies a^3 = 2b^2 \quad \cdots \text{(①)}\) 이다.또한 주어진 조건에서 \(\log_a b = \frac{3}{2}\) 또는 \(\log_a b = 2\) 이다.1) \(\log_a b = \frac{3}{2}\) 일 때, \(b = a^{\frac{3}{2}}\) 이다. 이를 ①에 대입하면 \(a^3 = 2\left(a^{\frac{3}{2}}\right)^2 = 2a^3\) 이므로 \(a = 0\) 이 되어 \(a \gt 0, a \ne 1\) 조건을 만족하지 않는다.2) \(\log_a b = 2\) 일 때, \(b = a^2\) 이다. 이를 ①에 대입하면 \(a^3 = 2\left(a^2\right)^2 = 2a^4\) 이다. \(a \ne 0\) 이므로 양변을 \(a^3\)으로 나누면 \(1 = 2a \implies a = \frac{1}{2}\) 이다. 이때 \(b = a^2 = \frac{1}{4}\) 이다.따라서 구하고자 하는 값은 \(ab^2 = a \cdot a^4 = a^5 = \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{32}\) 이다.(참고: \(2\log_a 2 + 2\log_a b = 3\) 을 계산하여 \(\log_a b = \frac{3}{2}\) 또는 \(\log_a b = 2\) 의 결과를 도출할 수도 있다.)
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| \(\log_2 \frac{a^3}{b^2} = 1\) 또는 \(a^3 = 2b^2\) 도출 |
2점 |
| \(\log_a b = \frac{3}{2}\) 일 때 \(a=0\)으로 불만족 판정, \(\log_a b = 2\) 일 때 \(a=\frac{1}{2}, b=\frac{1}{4}\) 도출 |
3점 |
| \(ab^2 = \frac{1}{32}\) 도출 |
2점 |
수학Ⅱ
삼각함수
\((\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta\) 이고, 이차방정식의 근과 계수와의 관계로부터 \(\sin\theta + \cos\theta = \frac{k+2}{k}\), \(\sin\theta\cos\theta = \frac{k+1}{k}\) 이다. 이를 관계식에 대입하면 다음과 같다.
\[\left(\frac{k+2}{k}\right)^2 = 1 + 2\left(\frac{k+1}{k}\right) \implies \frac{k^2+4k+4}{k^2} = \frac{3k+2}{k}\]
양변에 \(k^2\)을 곱하여 정리하면, \(k^2+4k+4 = 3k^2+2k \implies 2k^2-2k-4 = 0 \implies (k-2)(k+1) = 0\) 이므로, \(k=2\) 또는 \(k=-1\) 이다.
1) \(k=2\) 이면 \[\sin\theta\cos\theta = \frac{3}{2} \gt 1\] 이 되어 존재할 수 없으므로 부적합하다.
2) \(k=-1\) 이면 \[\sin\theta + \cos\theta = -1\] 이고 \[\sin\theta\cos\theta = 0\] 이다. \[0 \le \theta \le \pi\] 에서 이를 만족하는 \(\theta\)는 \(\theta = \pi\) 이다.
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| \(\sin\theta + \cos\theta = \frac{k+2}{k}\), \(\sin\theta\cos\theta = \frac{k+1}{k}\) 수립 |
1점 |
| \((\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta\) 관계식 이용 |
2점 |
| \(\left(\frac{k+2}{k}\right)^2 = 1 + 2\left(\frac{k+1}{k}\right)\) 방정식 정리 |
4점 |
| \(k = 2\) 또는 \(k = -1\) 도출 |
1점 |
| \(k = 2\) 일 때 \(\sin\theta\cos\theta = \frac{3}{2} \gt 1\) 이므로 부적합 판정 |
2점 |
| \(k = -1\) 일 때 \(\theta = \pi\) 도출 |
2점 |
수학Ⅱ
다양한 수열의 규칙
로그함수 \(f(x) = \frac{1}{3}\log_2(x-2)\)의 진수 조건 \(x-2 \gt 0\)에 의해 점근선은 \(x = 2\)이다. [ ① \(x=2\) ]
탄젠트함수 \(g(x) = \tan\left(\frac{\pi x}{a}\right)\)의 점근선은 \(\frac{\pi x}{a} = n\pi + \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{2n+1}{2}a\) (\(n\)은 정수)이다.
두 그래프가 만나지 않으려면 로그함수의 점근선 \(x=2\)가 탄젠트함수의 점근선과 일치해야 하므로,
\[\frac{2n-1}{2}a = 2 \implies a = \frac{4}{2n-1}\]
이다. \(a\)가 자연수이므로 홀수 \(2n-1\)은 \(4\)의 약수인 \(1\)이어야 한다. 따라서 \(n=1, a=4\)이다. [ ② \(a=4\) ]
정의역 \(\frac{17}{8} \le x \le 6\)에서 증가함수 \(f(x)\)의 범위는 \(f\left(\frac{17}{8}\right) = -1 \le f(x) \le f(6) = \frac{2}{3}\)이다.
합성함수 \((g \circ f)(x) = g(t)\) (단, \(t = f(x)\))에서 \(-1 \le t \le \frac{2}{3}\)이고, 증가함수 \(g(t) = \tan\left(\frac{\pi t}{4}\right)\)는 양 끝값에서 최댓값과 최솟값을 갖는다.
최솟값 \(m = g(-1) = \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1\)이다. [ ③ \(m=-1\) ]
최댓값 \(M = g\left(\frac{2}{3}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}\)이다. [ ④ \(M=\frac{\sqrt{3}}{3}\) ]
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| 수열 \(a_n\)의 관계식을 이용하여 각 항을 \(a_4=\alpha, a_5=-\alpha\)로 표현 |
3점 |
| \(a_{n+6} = a_n\) 주기성 및 한 주기(6개)의 합이 \(0\)임을 확인 |
2점 |
| \(S_1 = a_1 \gt 0\) 으로부터 \(\alpha \lt 0\) 판정 |
3점 |
| 한 주기 내에서 \(S_n \lt 0\)을 만족하는 \(n\)의 조건 (\(n=3, 4, 5\)) 도출 |
3점 |
| \(300\) 이하의 자연수 중 만족하는 \(n\)의 개수 \(150\)개 최종 도출 |
2점 |
수학Ⅱ
극한
\(x=1\)에서 함수 \(f(x)\)가 연속이 되기 위해서는 \(\lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{x+1}-a}{x-1} = f(1) = \frac{1+b}{\sqrt{2}}\) 가 성립해야 한다.극한값 \(\lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{x+1}-a}{x-1}\)가 존재하므로, \(x \to 1^+\)일 때 (분자) \(\to 0\) 이어야 한다. 즉, \(\sqrt{2}-a=0 \implies a=\sqrt{2}\) 이다.따라서 극한값을 구하면 다음과 같다.\(\lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{x-1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x+1}+\sqrt{2})} = \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}\)이때 \(\frac{1+b}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}\) 이므로, \(1+b = \frac{1}{2} \implies b = -\frac{1}{2}\) 이다.
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| \(a=\sqrt{2}\) 또는 \(\lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{x+1}-a}{x-1} = \frac{1}{2\sqrt{2}}\) |
3점 |
| \(\lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{x-1} = \frac{1}{2\sqrt{2}}\) 또는 \(f(1) = \frac{1+b}{\sqrt{2}}\) |
3점 |
| \(b=-\frac{1}{2}\) |
2점 |
수학Ⅱ
미분
두 점 P, Q의 위치의 차는 \(x_1(t) - x_2(t) = t^3 - 6t^2 + 9t = t(t-3)^2\) 이므로, 두 점이 만나는 시각은 \(t=0\) 또는 \(t=3\) 이다. 따라서 \(t_b = 3\) 이다.한편, 두 점 P, Q의 시각 \(t\)에서의 속도는 각각 다음과 같다.\(v_1(t) = \frac{d}{dt}x_1(t) = 9t^2 - 6t + 7\)\(v_2(t) = \frac{d}{dt}x_2(t) = 6t^2 + 6t - 2\)두 점 of 속도가 같아지는 조건 \(v_1(t) - v_2(t) = 0\) 에서,\(v_1(t) - v_2(t) = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t-1)(t-3) = 0\)이를 만족하는 시각은 \(t=1\) 또는 \(t=3\) 이다. 따라서 \(t_a = 1\) 이다.
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
부분 배점 |
| 속도 \(v_1(t) = 9t^2 - 6t + 7\), \(v_2(t) = 6t^2 + 6t - 2\) 도출 |
3점 |
| \(v_1(t) = v_2(t)\) 로부터 두 속도가 같아지는 시각 \(t_a = 1\) 도출 |
3점 |
| \(x_1(t) = x_2(t)\) 로부터 두 점이 다시 만나는 시각 \(t_b = 3\) 도출 |
4점 |
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